Introdução: Aula de Sistemas de Equações Lineares
Nesta aula, vamos aprender a resolver sistemas de equações lineares utilizando dois métodos principais: o método da substituição e o método da adição (ou método da eliminação). Vamos aplicar os conceitos por meio de perguntas e respostas para reforçar o aprendizado de forma prática e didática. Ao final, apresentaremos o gabarito e a resolução detalhada de cada questão para que você compreenda cada etapa do processo.
- Método da Substituição: Consiste em isolar uma variável em uma equação e substituí-la na outra equação do sistema.
- Método da Adição: Consiste em somar ou subtrair as equações para eliminar uma das variáveis, facilitando a resolução.
Vamos praticar com 10 questões e, ao final, resolveremos cada uma delas passo a passo.
Sistema de Equações Lineares: Exercícios e Resolução
Questões
1. Resolva o sistema pelo método da substituição:
{x+y=10x−y=2\begin{cases} x + y = 10 \\ x – y = 2 \end{cases}{x+y=10x−y=2
2. Resolva o sistema pelo método da adição:
{2x+3y=12x−y=2\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x – y = 2 \end{cases}{2x+3y=12x−y=2
3. Resolva o sistema pelo método da substituição:
{3x+y=7x−y=1\begin{cases} 3x + y = 7 \\ x – y = 1 \end{cases}{3x+y=7x−y=1
4. Resolva o sistema pelo método da adição:
{4x+2y=142x−y=1\begin{cases} 4x + 2y = 14 \\ 2x – y = 1 \end{cases}{4x+2y=142x−y=1
5. Resolva o sistema pelo método da substituição:
{x+2y=82x−y=3\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 2x – y = 3 \end{cases}{x+2y=82x−y=3
6. Resolva o sistema pelo método da adição:
{3x−4y=52x+y=7\begin{cases} 3x – 4y = 5 \\ 2x + y = 7 \end{cases}{3x−4y=52x+y=7
7. Resolva o sistema pelo método da substituição:
{x+y=62x+3y=16\begin{cases} x + y = 6 \\ 2x + 3y = 16 \end{cases}{x+y=62x+3y=16
8. Resolva o sistema pelo método da adição:
{5x−2y=43x+2y=20\begin{cases} 5x – 2y = 4 \\ 3x + 2y = 20 \end{cases}{5x−2y=43x+2y=20
9. Resolva o sistema pelo método da substituição:
{2x+3y=9x−2y=−4\begin{cases} 2x + 3y = 9 \\ x – 2y = -4 \end{cases}{2x+3y=9x−2y=−4
10. Resolva o sistema pelo método da adição:
{x−3y=−54x+3y=13\begin{cases} x – 3y = -5 \\ 4x + 3y = 13 \end{cases}{x−3y=−54x+3y=13
Gabarito
- x=6x = 6x=6, y=4y = 4y=4
- x=4x = 4x=4, y=2y = 2y=2
- x=2x = 2x=2, y=1y = 1y=1
- x=2x = 2x=2, y=3y = 3y=3
- x=2x = 2x=2, y=3y = 3y=3
- x=3x = 3x=3, y=1y = 1y=1
- x=2x = 2x=2, y=4y = 4y=4
- x=4x = 4x=4, y=2y = 2y=2
- x=3x = 3x=3, y=1y = 1y=1
- x=2x = 2x=2, y=−1y = -1y=−1
Resolução das Questões
1. Resolva o sistema pelo método da substituição:
{x+y=10(1)x−y=2(2)\begin{cases} x + y = 10 \quad (1)\\ x – y = 2 \quad (2) \end{cases}{x+y=10(1)x−y=2(2)
Passo 1: Isolamos xxx na equação (2):
x=y+2x = y + 2x=y+2
Passo 2: Substituímos na equação (1):
(y+2)+y=102y+2=102y=8y=4(y + 2) + y = 10 2y + 2 = 10 2y = 8 y = 4(y+2)+y=102y+2=102y=8y=4
Passo 3: Substituímos y=4y = 4y=4 na equação x=y+2x = y + 2x=y+2:
x=4+2=6x = 4 + 2 = 6x=4+2=6
Resposta: x=6x = 6x=6, y=4y = 4y=4.
2. Resolva o sistema pelo método da adição:
{2x+3y=12(1)x−y=2(2)\begin{cases} 2x + 3y = 12 \quad (1)\\ x – y = 2 \quad (2) \end{cases}{2x+3y=12(1)x−y=2(2)
Passo 1: Multiplicamos a equação (2) por 2 para que os termos em xxx possam ser somados:
2x−2y=42x – 2y = 42x−2y=4
Passo 2: Somamos as equações:
(2x+3y)+(2x−2y)=12+44x+y=16(2x + 3y) + (2x – 2y) = 12 + 4 4x + y = 16(2x+3y)+(2x−2y)=12+44x+y=16
Passo 3: Isolamos yyy:
y=16−4xy = 16 – 4xy=16−4x
