Matemática – Questões sobre Funções de 1º e 2º Grau e Interpretação de Gráficos

Questões sobre Funções de 1º e 2º Grau e Interpretação de Gráficos

Introdução:

As questões a seguir abordam conceitos fundamentais sobre funções de primeiro e segundo grau, incluindo suas representações gráficas e interpretação. Essas questões são essenciais para consolidar o entendimento sobre esses tópicos, que são amplamente utilizados em diversas áreas do conhecimento, como física, economia e engenharia.

Questões:

1. Qual é a forma geral de uma função de primeiro grau? E de uma função de segundo grau?
2. Dada a função f(x) = 2x – 3, calcule f(4).
3. Qual é o coeficiente angular de uma reta? E o coeficiente linear?
4. Qual é a concavidade de uma parábola cujo coeficiente de x² é positivo? E negativo?
5. O que representa o vértice de uma parábola?
6. Dada a função g(x) = x² – 4x + 3, determine as raízes da função.
7. Qual é a relação entre as raízes de uma função de segundo grau e seus pontos de interseção com o eixo x?
8. Como se calcula o ponto de máximo ou mínimo de uma função quadrática?
9. Interprete o gráfico de uma função de primeiro grau crescente.
10. Dada a função h(x) = -x² + 2x, esboce o gráfico e determine o intervalo em que a função é crescente.

Gabarito:

1. A forma geral de uma função de primeiro grau é f(x) = ax + b, onde a e b são números reais. A forma geral de uma função de segundo grau é f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
2. f(4) = 2*4 – 3 = 5.
3. O coeficiente angular de uma reta representa a inclinação da reta em relação ao eixo x. O coeficiente linear representa o ponto em que a reta intersecta o eixo y.
4. A concavidade de uma parábola cujo coeficiente de x² é positivo é para cima. Se o coeficiente de x² for negativo, a concavidade é para baixo.
5. O vértice de uma parábola é o ponto de máximo ou mínimo da função.
6. As raízes da função g(x) = x² – 4x + 3 são x = 1 e x = 3.
7. As raízes de uma função de segundo grau são os valores de x para os quais f(x) = 0. Graficamente, representam os pontos em que a parábola intersecta o eixo x.
8. O ponto de máximo ou mínimo de uma função quadrática ocorre no vértice da parábola. As coordenadas do vértice podem ser calculadas utilizando a fórmula x = -b/2a e substituindo o valor de x na função para encontrar o valor de y.
9. O gráfico de uma função de primeiro grau crescente representa uma reta que ”sobe” da esquerda para a direita. Isso significa que à medida que os valores de x aumentam, os valores de f(x) também aumentam.
10. O gráfico de h(x) = -x² + 2x é uma parábola com concavidade para baixo. A função é crescente no intervalo (0, 1).

Resolução Detalhada:

1. Forma geral:

• 1º grau: A equação geral y = mx + b representa uma reta. O coeficiente angular (m) indica a inclinação da reta e o coeficiente linear (b) indica o ponto em que a reta cruza o eixo y.
• 2º grau: A equação geral y = ax² + bx + c representa uma parábola. O sinal de a determina a concavidade da parábola, e o vértice pode ser encontrado usando a fórmula x = -b/2a.

2. Cálculo de f(4): Basta substituir x por 4 na função f(x) = 2x – 3.

3. Coeficiente angular e linear:

• Coeficiente angular: Indica a inclinação da reta. Se for positivo, a reta é crescente; se for negativo, é decrescente.
• Coeficiente linear: Indica o ponto em que a reta cruza o eixo y.

4. Concavidade da parábola:

• Positivo: A parábola ”abre para cima”, tendo um ponto de mínimo.
• Negativo: A parábola ”abre para baixo”, tendo um ponto de máximo.

5. Vértice da parábola: É o ponto de máximo ou mínimo da função, e suas coordenadas podem ser encontradas usando as fórmulas mencionadas no gabarito.

6. Raízes da função: Para encontrar as raízes, basta igualar a função a zero e resolver a equação resultante.

7. Relação entre raízes e pontos de interseção: As raízes são os valores de x que fazem y = 0, ou seja, os pontos onde a parábola cruza o eixo x.

8. Ponto de máximo ou mínimo: O vértice da parábola representa o ponto de máximo ou mínimo.

9. Interpretação do gráfico: Uma função de primeiro grau crescente indica que à medida que x aumenta, y também aumenta.

10. Esboço do gráfico e intervalo de crescimento: Para esboçar o gráfico, encontre o vértice e alguns pontos adicionais. A função é crescente no intervalo entre a abscissa do vértice e o ponto onde a parábola intersecta o eixo x pela última vez.

Observação: Para uma resolução mais detalhada de cada questão, sugiro que você consulte um livro didático de matemática ou um professor.