Matemática – Introdução: Aula sobre Progressões Aritméticas (PA) e Progressões Geométricas (PG)

Introdução: Aula sobre Progressões Aritméticas (PA) e Progressões Geométricas (PG)

Nesta aula, vamos abordar dois tipos importantes de sequências numéricas: Progressões Aritméticas (PA) e Progressões Geométricas (PG). Vamos entender o conceito, a fórmula do termo geral, a fórmula da soma dos termos, e aplicar esses conceitos em problemas de sequência.

• Progressão Aritmética (PA): Uma sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante.
  • Fórmula do termo geral: an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n – 1) \cdot ran​=a1​+(n−1)⋅r
  • Fórmula da soma dos $n$ termos: Sn=n2⋅(a1+an)S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)Sn​=2n​⋅(a1​+an​)
• Progressão Geométrica (PG): Uma sequência em que a razão entre termos consecutivos é constante.
  • Fórmula do termo geral: an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n – 1}an​=a1​⋅qn−1
  • Fórmula da soma dos $n$ termos (quando q≠1q \neq 1q=1): Sn=a1⋅qn−1q−1S_n = a_1 \cdot \frac{q^n – 1}{q – 1}Sn​=a1​⋅q−1qn−1​

Vamos praticar com 10 questões, seguidas pelo gabarito e pela resolução detalhada.

Questões sobre PA e PG

1.

Encontre o 10º termo da PA em que a1=3a_1 = 3a1​=3 e a razão $r=5$.

Resposta: 48.

2.

Determine a soma dos 20 primeiros termos da PA com a1=2a_1 = 2a1​=2 e $r=3$.

Resposta: 620.

3.

Qual é o 6º termo da PG em que a1=2a_1 = 2a1​=2 e a razão $q=3$?

Resposta: 486.

4.

Encontre a soma dos 5 primeiros termos da PG com a1=1a_1 = 1a1​=1 e $q=2$.

Resposta: 31.

5.

Qual é o 15º termo da PA em que a1=7a_1 = 7a1​=7 e $r=4$?

Resposta: 63.

6.

Calcule o 8º termo da PG em que a1=3a_1 = 3a1​=3 e $q=2$.

Resposta: 384.

7.

Determine a soma dos 10 primeiros termos da PA com a1=1a_1 = 1a1​=1 e $r=2$.

Resposta: 100.

8.

Qual é o 12º termo da PA em que a1=5a_1 = 5a1​=5 e $r=3$?

Resposta: 38.

9.

Encontre a soma dos 4 primeiros termos da PG com a1=3a_1 = 3a1​=3 e $q=4$.

Resposta: 195.

10.

Determine o 7º termo da PA em que a1=10a_1 = 10a1​=10 e $r=-2$.

Resposta: 0.

Gabarito

1. 48
2. 620
3. 486
4. 31
5. 63
6. 384
7. 100
8. 38
9. 195
10. 0

Resolução Detalhada

1. Encontre o 10º termo da PA em que a1=3a_1 = 3a1​=3 e a razão $r=5$.

• Fórmula do termo geral da PA: an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n – 1) \cdot ran​=a1​+(n−1)⋅r
  a10=3+(10−1)⋅5=3+9⋅5=3+45=48.a_{10} = 3 + (10 – 1) \cdot 5 = 3 + 9 \cdot 5 = 3 + 45 = 48.a10​=3+(10−1)⋅5=3+9⋅5=3+45=48.

2. Determine a soma dos 20 primeiros termos da PA com a1=2a_1 = 2a1​=2 e $r=3$.

• Fórmula da soma dos $n$ termos: Sn=n2⋅(a1+an)S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)Sn​=2n​⋅(a1​+an​)
  Primeiro, encontre a20a_{20}a20​:
  a20=2+(20−1)⋅3=2+57=59.a_{20} = 2 + (20 – 1) \cdot 3 = 2 + 57 = 59.a20​=2+(20−1)⋅3=2+57=59.
  Agora, calcule a soma:
  S20=202⋅(2+59)=10⋅61=620.S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (2 + 59) = 10 \cdot 61 = 620.S20​=220​⋅(2+59)=10⋅61=620.

3. Qual é o 6º termo da PG em que a1=2a_1 = 2a1​=2 e a razão $q=3$?

• Fórmula do termo geral da PG: an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n – 1}an​=a1​⋅qn−1
  a6=2⋅36−1=2⋅35=2⋅243=486.a_6 = 2 \cdot 3^{6 – 1} = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486.a6​=2⋅36−1=2⋅35=2⋅243=486.

4. Encontre a soma dos 5 primeiros termos da PG com a1=1a_1 = 1a1​=1 e $q=2$.

• Fórmula da soma dos $n$ termos: Sn=a1⋅qn−1q−1S_n = a_1 \cdot \frac{q^n – 1}{q – 1}Sn​=a1​⋅q−1qn−1​
  S5=1⋅25−12−1=32−11=31.S_5 = 1 \cdot \frac{2^5 – 1}{2 – 1} = \frac{32 – 1}{1} = 31.S5​=1⋅2−125−1​=132−1​=31.

5. Qual é o 15º termo da PA em que a1=7a_1 = 7a1​=7 e $r=4$?

• a15=7+(15−1)⋅4=7+14⋅4=7+56=63.a_{15} = 7 + (15 – 1) \cdot 4 = 7 + 14 \cdot 4 = 7 + 56 = 63.a15​=7+(15−1)⋅4=7+14⋅4=7+56=63.

6. Calcule o 8º termo da PG em que a1=3a_1 = 3a1​=3 e $q=2$.

• a8=3⋅28−1=3⋅27=3⋅128=384.a_8 = 3 \cdot 2^{8 – 1} = 3 \cdot 2^7 = 3 \cdot 128 = 384.a8​=3⋅28−1=3⋅27=3⋅128=384.

7. Determine a soma dos 10 primeiros termos da PA com a1=1a_1 = 1a1​=1 e $r=2$.

• Encontre a10a_{10}a10​:
  a10=1+(10−1)⋅2=1+18=19.a_{10} = 1 + (10 – 1) \cdot 2 = 1 + 18 = 19.a10​=1+(10−1)⋅2=1+18=19.
  Soma:
  S10=102⋅(1+19)=5⋅20=100.S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (1 + 19) = 5 \cdot 20 = 100.S10​=210​⋅(1+19)=5⋅20=100.

8. Qual é o 12º termo da PA em que a1=5a_1 = 5a1​=5 e $r=3$?

• a12=5+(12−1)⋅3=5+11⋅3=5+33=38.a_{12} = 5 + (12 – 1) \cdot 3 = 5 + 11 \cdot 3 = 5 + 33 = 38.a12​=5+(12−1)⋅3=5+11⋅3=5+33=38.

9. Encontre a soma dos 4 primeiros termos da PG com a1=3a_1 = 3a1​=3 e $q=4$.

• S4=3⋅44−14−1=3⋅256−13=3⋅85=195.S_4 = 3 \cdot \frac{4^4 – 1}{4 – 1} = 3 \cdot \frac{256 – 1}{3} = 3 \cdot 85 = 195.S4​=3⋅4−144−1​=3⋅3256−1​=3⋅85=195.

10. Determine o 7º termo da PA em que a1=10a_1 = 10a1​=10 e $r=-2$.

• a7=10+(7−1)⋅(−2)=10+6⋅(−2)=10−12=0.a_7 = 10 + (7 – 1) \cdot (-2) = 10 + 6 \cdot (-2) = 10 – 12 = 0.a7​=10+(7−1)⋅(−2)=10+6⋅(−2)=10−12=0.

Esses conceitos e aplicações de PA e PG são essenciais para resolver problemas envolvendo sequências em concursos!