Matemática – Introdução: Aula sobre Análise Combinatória

Introdução: Aula sobre Análise Combinatória

Nesta aula, abordaremos os conceitos fundamentais de Análise Combinatória, focando nos seguintes tópicos:

1. Princípio Fundamental da Contagem: Método para contar o número total de possibilidades em eventos sucessivos.
2. Permutações: Número de formas de organizar elementos distintos.
3. Combinações Simples: Número de formas de escolher elementos de um conjunto, sem se importar com a ordem.

Vamos praticar com 10 questões, seguidas pelo gabarito e pela resolução detalhada.

Questões sobre Análise Combinatória

1.

Quantas combinações de 3 letras podem ser formadas com as letras A, B, C, D, E, sem repetição?

2.

De quantas maneiras podemos organizar as letras da palavra “CASA”?

3.

Em uma festa, há 5 pessoas. Quantos apertos de mão únicos podem ocorrer se cada pessoa apertar a mão de todas as outras apenas uma vez?

4.

Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5?

5.

Quantas maneiras existem de escolher uma equipe de 2 pessoas a partir de um grupo de 6 pessoas?

6.

Quantas permutações existem para a palavra “MAMA”?

7.

Uma senha de 4 dígitos é formada usando os números de 0 a 9. Quantas senhas podem ser formadas se os dígitos não podem se repetir?

8.

De quantas maneiras podemos organizar 5 livros em uma estante?

9.

Quantas combinações de 2 letras podem ser feitas usando as letras X, Y, Z, W?

10.

Em um cardápio com 4 entradas e 3 sobremesas, de quantas maneiras diferentes se pode escolher uma refeição com uma entrada e uma sobremesa?

Gabarito

1. 10
2. 12
3. 10
4. 60
5. 15
6. 12
7. 5040
8. 120
9. 6
10. 12

Resolução Detalhada

1. Quantas combinações de 3 letras podem ser formadas com as letras A, B, C, D, E, sem repetição?

• Fórmula de combinações: C(n,k)=n!k!(n−k)!C(n, k) = \frac{n!}{k!(n – k)!}C(n,k)=k!(n−k)!n!​ $n=5$ (total de letras) e $k=3$: C(5,3)=5×4×33×2×1=10C(5, 3) = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10C(5,3)=3×2×15×4×3​=10 Resposta: 10

2. De quantas maneiras podemos organizar as letras da palavra “CASA”?

• Há 4 letras, mas o A se repete 2 vezes. Fórmula de permutações com repetição: P=n!k1!×k2!×⋯P = \frac{n!}{k_1! \times k_2! \times \cdots}P=k1​!×k2​!×⋯n!​ P=4!2!=242=12P = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12P=2!4!​=224​=12 Resposta: 12

3. Em uma festa, há 5 pessoas. Quantos apertos de mão únicos podem ocorrer?

• Cada aperto de mão é uma combinação de 2 pessoas: C(5,2)=5×42×1=10C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10C(5,2)=2×15×4​=10 Resposta: 10

4. Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5?

• Escolhemos 3 dígitos e organizamos: $$P(5,3)=5\times 4\times 3=60$$ Resposta: 60

5. Quantas maneiras existem de escolher uma equipe de 2 pessoas a partir de um grupo de 6 pessoas?

• Combinação de 6 elementos tomados 2 a 2: C(6,2)=6×52×1=15C(6, 2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15C(6,2)=2×16×5​=15 Resposta: 15

6. Quantas permutações existem para a palavra “MAMA”?

• Há 4 letras com repetições (2 M’s e 2 A’s): P=4!2!×2!=244=6P = \frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{24}{4} = 6P=2!×2!4!​=424​=6 Resposta: 6

7. Uma senha de 4 dígitos é formada usando os números de 0 a 9. Quantas senhas podem ser formadas se os dígitos não podem se repetir?

• Escolha de 4 dígitos distintos em ordem: $$P(10,4)=10\times 9\times 8\times 7=5040$$ Resposta: 5040

8. De quantas maneiras podemos organizar 5 livros em uma estante?

• Permutação de 5 elementos: $$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$$ Resposta: 120

9. Quantas combinações de 2 letras podem ser feitas usando as letras X, Y, Z, W?

• Combinação de 4 elementos tomados 2 a 2: C(4,2)=4×32×1=6C(4, 2) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6C(4,2)=2×14×3​=6 Resposta: 6

10. Em um cardápio com 4 entradas e 3 sobremesas, de quantas maneiras diferentes se pode escolher uma refeição com uma entrada e uma sobremesa?

• Princípio Fundamental da Contagem: $$4\text{ entradas}\times 3\text{ sobremesas}=12$$ Resposta: 12

Essas questões ajudarão você a dominar os conceitos básicos de Análise Combinatória. Pratique bastante para garantir o sucesso nos concursos!